\subsection{$|x| < a$，$|x| > a \; (a > 0)$ 型的不等式及其解法}\label{subsec:14-13}

我们来求 $|x| < a$，$|x| > a \; (a > 0)$ 型不等式的解集。

例如，解不等式 $|x| < 2$。

由绝对值的意义可知，$|x| < 2$ 可化成下面两个不等式组：
\begin{gather}
    \begin{cases}
        x \geqslant 0 \douhao \\
        x < 2 \douhao \phantom{-} % 加 phantom 是为了与下面的公式(2)对齐
    \end{cases} \tag{1}
\end{gather}
或
\begin{gather}
    \begin{cases}
        x < 0 \douhao \\
        -x < 2 \douhao
    \end{cases} \tag{2}
\end{gather}

不等式组 (1) 的解集是 $0 \leqslant x < 2$ 。

不等式组 (2) 的解集是 $-2 < x < 0$。

所以 $|x| < 2$ 的解集是 $-2 < x < 2$ （图 \ref{fig:14-32}）。

从图 \ref{fig:14-32} 可以看出，表示 $|x| < 2$ 的解集的线段（除去端点），就是数轴上与原点的距离小于 $2$ 的点的集合。

\begin{figure}[htbp]
    \centering
    \begin{minipage}[b]{6cm}
    \centering
    \input{../pic/czds4-ch14-32}
    \caption{}\label{fig:14-32}
    \end{minipage}
    \qquad
    \begin{minipage}[b]{8cm}
    \centering
    \input{../pic/czds4-ch14-33}
    \caption{}\label{fig:14-33}
    \end{minipage}
\end{figure}

又如， 解不等式 $|x| > 3$。

这个不等式可化成下面两个不等式组：
\begin{gather}
    \begin{cases}
        x \geqslant 0 \douhao \\
        x > 3 \douhao \phantom{-} % 加 phantom 是为了与下面的公式(2)对齐
    \end{cases} \tag{1}
\end{gather}
或
\begin{gather}
    \begin{cases}
        x < 0 \douhao \\
        -x > 3 \douhao
    \end{cases} \tag{2}
\end{gather}

不等式组 (1) 的解集是 $x > 3$ 。

不等式组 (2) 的解集是 $x < -3$。

因此，$|x| > 3$ 的解集是 $x > 3$ 或 $x < -3$（图 \ref{fig:14-33}）。

从图 \ref{fig:14-33} 可以看出，表示 $|x| > 3$ 的解集的两条射线（除去端点），就是数轴上与原点的距离大于 $3$ 的点的集合。

一般地，不等式 $|x| < a \; (a > 0)$ 的解集是 $-a < x < a$ （图 \ref{fig:14-34}），
不等式 $|x| > a \; (a > 0)$ 的解集是 $x > a$ 或 $x < -a$ （图 \ref{fig:14-35}）。

\begin{figure}[htbp]
    \centering
    \begin{minipage}[b]{6cm}
    \centering
    \input{../pic/czds4-ch14-34}
    \caption{}\label{fig:14-34}
    \end{minipage}
    \qquad
    \begin{minipage}[b]{8cm}
    \centering
    \input{../pic/czds4-ch14-35}
    \caption{}\label{fig:14-35}
    \end{minipage}
\end{figure}

\begin{enhancedline}
\liti 解不等式 $|3x| < 8$。

\jie 由原不等式可得
$$ -8 < 3x < 8 \juhao $$

各除以 $3$，得
$$ -2\dfrac{2}{3} < x < 2\dfrac{2}{3} \juhao $$

所以原不等式的解集是 $-2\dfrac{2}{3} < x < 2\dfrac{2}{3}$。


\liti 解不等式 $|x - 5| < 8$。

\jie 由原不等式可得
$$ -8 < x - 5 < 8 \juhao $$

各加上 $5$，得
$$ -3 < x < 13 \juhao $$

所以原不等式的解集是 $-3 < x < 13$。
\end{enhancedline}


\liti 解不等式 $|x + 9| \leqslant 86$。

\jie 由原不等式可得
$$ -86 \leqslant x + 9 \leqslant 86 \juhao $$

各减去 $9$，得
$$ -95 \leqslant x \leqslant 77 \juhao $$

所以原不等式的解集是 $-95 \leqslant x \leqslant 77$。



\liti 解不等式 $|x - 3| > 5$。

\jie 由原不等式可得
$$ x - 3 > 5 \text{，或 \,} x - 3 < -5 \douhao $$
也就是
$$ x > 8 \text{，或 \,} x < -2 \juhao $$

所以原不等式的解集是 $x > 8$，或\, $x < -2$。



\liti 解不等式 $|x + 6| \geqslant 53$。

\jie 由原不等式可得
$$ x + 6 \geqslant 53 \text{，或 \,} x + 6 \leqslant -53 \douhao $$
也就是
$$ x \geqslant 47 \text{，或 \,} x \leqslant -59 \juhao $$

所以原不等式的解集是 $x \geqslant 47$，或\, $x \leqslant -59$。


\lianxi
\begin{xiaotis}

\xiaoti{解下列不等式，并把不是空集的解集在数轴上表示出：}
\begin{xiaoxiaotis}

    \begin{tblr}{columns={18em, colsep=0pt}}
        \xxt{$|x| < 4$；} & \xxt{$|x| > 4$。}
    \end{tblr}
\end{xiaoxiaotis}


\xiaoti{解下列不等式：}
\begin{xiaoxiaotis}

    \begin{tblr}{columns={18em, colsep=0pt}, rows={rowsep=0.5em}}
        \xxt{$|x + 4| > 9$；}         & \xxt{$\Big| \dfrac{1}{4} + x \Big| \leqslant \dfrac{1}{2}$；} \\
        \xxt{$|2 - x| \geqslant 3$；} & \xxt{$\Big| x - \dfrac{2}{3} \Big| < \dfrac{1}{3}$。}
    \end{tblr}
\end{xiaoxiaotis}


\end{xiaotis}
